[이득우 게임수학] 14. 복소수 : 2차원 평면의 수

14.1 복소수

복소수(Complex number)는 실수(Real number)와 허수(imaginary number)두 개의 값으로 구성되는 수집합을 뜻하며, 집합 기호는 C로 표현한다.

허수

허수는 제곱해서 음수가 되는 상상의 수이다. 실수와 구분하기 위해 허수에 i라는 기호를 사용한다. 이를 허수 단위(Imaginary unit)라 부른다. 허수단위 i는 제곱했을 때 -1가 나오는 수를 말한다. 복소수 내에서 서로 완전히 분리된 실수 집합과 허수 집합은 각각 실수부(Real part)와 허수부(Imaginary part)로 부르고 허수부는 항상 i를 사용해 표기한다.

복소수의 구조

복소수의 덧셈 연산의 성질

• 결합법칙 : (a,b) + ((c,d) + (e,f)) = ((a,b) + (c,d)) + (e,f)
• 교환법칙 : (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
• 항등원 : (a,b) + (0,0) = (a,b)
• 역원 : (a,b) + (-a,-b) = (0,0)

복소수의 곱셈 연산의 성질

• 결합법칙 : (a,b)·((c,d)·(e,f)) = ((a,b)·(c,d))·(e,f)
• 교환법칙 : (a,b)·(c,d) = (c,d)·(a,b)
• 분배법칙 : (a,b)·((c,d)+(e,f)) = (a,b)·(c,d)+(a,b)·(e,f)
• 항등원 : (a,b)·(1,0) = (a,b)

복소수의 노름(Norm)은 복소수의 크기를 뜻하며 실수와 동일하게 절댓값 기호 |값|를 사용해서 나타낸다. 크기가 1인 복소수를 단위 복소수(Unit complex number)라고 한다.
켤레 복소수(Conjugate complex number)는 C*로 표시한다.

c = a + bi = (a,b)
c* = a - bi = (a,-b)

14.2 복소평면

복소평면(Complex plane)이란 실수부에 해당하는 실수축과 허수부에 해당하는 허수축을 직각으로 교차시키는 방식으료 표현하는 평면이다. 두 축은 실수축(Re)과 허수축(lm)으로 이루어져 있다.

단위 복소수와의 곱

단위복소수는 삼각함수의 공신 cos^2θ + sin^2θ = 1 을 이용해 단위원을 형성하는 임의의 단위 복소수 (a,b)를 다음과 같이 삼각함수로 표현할 수 있다.

(a,b) = cosθ + isinθ = (cosθ, sinθ)
(cosθ, sinθ)·(x,y) = (x cosθ - y sinθ, y cosθ + x sinθ)

켤레 복소수의 회전 변환

단위 복소수를 (cosθ, sinθ)라고 표현할 때 켤레 복소수는 (cosθ, -sinθ)가 된다. 여기서 삼각함수의 성질을 활용하면

(cosθ, -sinθ) = (cos(-θ), sin(-θ))

c·c* = a^2 + b^2 = sin^2θ + cos^2θ = 1

14.3 복소수와 행렬의 관계

cosθ + i sinθ = ┌ cosθ  -sinθ ┐
                └ sinθ   cosθ ┘
              = cosθ · ┌ 1  0 ┐ + sinθ · ┌ 0  -1 ┐
                       └ 0  1 ┘          └ 1   0 ┘

I = ┌ 1  0 ┐
    └ 0  1 ┘

J = ┌ 0  -1 ┐
    └ 1   0 ┘

I · J = ┌ -1  0 ┐ = -I
        └ 0  -1 ┘

i · i = -1

14.4 정리

• 복소수의 덧셈과 곱셉연산 분석
• 크기가 1인 단위 복소수와의 곱은 결국 회전변환을 의미