15.1 자연지수함수
//오일러 공식
e^iθ = cosθ + i sinθ무리수 e
y = (1 + 1/x)^x
e = lim/x->∞ (1 + 1/x)^x자연 지수 함수
거듭제곱(Exponentiation) : 같은 수를 여러 번 곱하는 작업
지수(Exponent) : 거듭제곱에서 곱하는 횟수
밑(Base) : 거듭제곱에서 곱하는 수
거듭제곱을 구성하는 밑과 지수가 가지는 연산의 특징을 지수 법칙(Law of exponents)라고 한다.
- 밑이 같은 거듭제곱 간의 곱셈은 지수를 더한 거듭제곱과 동일 하다. (a^m · a^n = a^m+n)
- 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱한 거듭제곱과 동일하다. (a^m)^n = a^m·n
- 지수가 0인 거듭제곱은 항상 1의 값을 갖는다. (a^0 = 1)
- 지수함수(Exponential function) : f(x) = a^x
- 자연지수함수(Natural exponential function) : f(x) = e^x
15.2 미분
자연지수함수, sin함수 cos함수 모두 미분 가능한 함수다.
- 할선(Secant line) : 미분 가능한 함수가 주어졌을 때 x값 a와 b에 대응되는 두 좌표를 연결해 만든 직선
- 접선(Tangent line) : b가 a에 한없이 가까에 접근하는 개념을 사용하여 특정 지점에서의 기울기를 나타내는 선
도함수
도함수(Derivative) : 임의의 수 x에 대한 미분 계수를 구할 수 있도록 일반화한 함수
도함수 전개를 위한 극한의 성질
- 두 함수 합의 극한값은 각 극한값의 합과 같다.
- 상수와 함수 곱의 극한값은 함수 극한값에 상수를 곱한 것과 같다.
- 두 함수 곱의 극한값은 각 극한값의 곱과 같다.
- 두 함수 나눗셈의 극한값은 각 극한값의 나눗셈과 동일하다. 단 분모의 극한 값은 0이 아니어야 한다.
- 함수를 거듭제곱한 극한값은 극한값을 거듭제곱한 값과 같다.
- 세 함수의 대소 관계가 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 와 같을 떄 양변 g(x)와 h(x)의 극한 값이 같다면 가운데 위치한 함수 f(x)의 극한 값도 같다.
f(x) = x^n
f'(x) = n·x^(n-1)자연지수함수의 도함수
자연지수함수의 도함수는 원함수와 동일하다.
- 증명과정 생략
f'(x) = e^x = f(x)sin 함수와 cos함수의 도함수
f(x) = sinx
f'(x) = cosx
f''(x) = -sinx
f'''(x) = -cosx
f''''(x) = sinx
f(x) = cosx
f'(x) = -sinx
f''(x) = -cosx
f'''(x) = sinx
f''''(x) = cosx15.3 급수
등비수열
수열(Sequence) : 규칙에 따라 순서에 맞게 수를 나열한 것
등비수열(Geometric sequence) : 연속된 항들이 일정한 비(Ratio)로 증가하는 수열
공비(Common ratio) : 등비수열 규칙에 사용된 비
급수
급수(Series) : 수열의 개념을 확장해 수열의 모든 값을 더한 것
기하급수(Geometric series) : 등비수열의 급수
공비 r의 값에 따른 lim_n->∞ s_n 의 성질
- r = 1 인 경우에는 발산
- |r| > 1 인 경우에는 발산
- |r| < 1 인 경우에는 수렴
- r = -1 인 경우에는 발산
멱급수(power seried) : 항마다 계수가 다른 급수 (기하급수는 모든 계수의 값이 동일한 멱급수의 한종류라고 할 수 있음)
매클로린 급수
매클로린 급수(Maclaurin series) : 책에서는 테일러 급수와 동일한 듯이 설명하지만 실제로는 테일러 급수의 부분집합 개념이다. 다음과 같아 태일러 급수의 특정 경우에서만 적용된다.
∞
∑ c_n (x - a)^n
n=0
//c_n은 멱급수의 계수
//매클로린 급수
a = 0 일때 ( ( f^(n) (0) ) / n! ) x^n 의 형태를 가지는 급수15.4 오일러 공식
e^iθ = cos θ + i sin θ
e^iπ + 1 = 015.5 정리
- 오일러 공식을 이해하기 위한 자연지수함수와 미분, 급수에대한 기본 지식
- 매클로린 급수로 표현된 세가지 함수가 서로 등식이 성립하기 위한 과정
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