[이득우 게임수학] 2. 수 : 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위
- 📕 Book / 이득우 게임수학
- 2022. 12. 15.
수와 집합
의무 교육에서 배운 집합은 서로 구분이 되는 원소(Element)로 구성된 묶음을 의미한다. 소박한 집합론(Naive set theory)이라 한다.
- N (자연수) : 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합
- Z (정수) : 자연수와 자연수의 음수, 0을 포함하는 수의 집합
- Q (유리수) : 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합
- I (무리수) : 두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합
- C (복소수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi(a,b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합
- H (사원수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i,j,k 를 조합해 a+bi+cj+dk(a,b,c,d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합
연산과 수의 구조
수집합은 원소를 이용해 연산을 한다는 고유한 특징이 있다. 대표적인 연산으로는 덧셈, 뺄셈, 곱셉, 나눗셈의 사칙연산이 있다. 이들은 두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항연산(Binary operation)이라고도 한다. 같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면, 그 이항연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다(Closure)고 한다. 이항연산은 다음의 3가지 성질이 있다.
- 교환 법칙 : 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서에 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질
a + b = b + a
a * b = b * a- 결합 법칙 : 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 먼저 계산한 결과가 같은 성질
(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = (a * b) * c- 분배 법칙 : 서로 다른 2가지 연산에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙을 만족하면 분배법칙을 만족한다고 한다.
a * (b + c) = a * b + a * c
(b + c) * a = b * a + c * a추가로 이항연산은 항등원(Identity)과 역원(Inverse)이라는 특징이 있다.
- 항등원(Identity) : 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수
a + 0 = a //0: 덧셈의 항등원
a * 1 = a //1: 곱셈의 항등원- 역원(Inverse) : 임의의 수와 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수
a + (-a) = 0 //-a: a의 덧셈 역원 (반대수 Opposite number)
a * 1 / a = 1 //1/a: a의 곱셈 역원 (역수 Reciprocal)수의 구조
- 연산에 대해 닫혀 있다.
- 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
- 연산에 대한 항등원이 존재한다.
- 연산에 대한 역원이 존재한다.
- 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
정수의 덧셈은 위 공리를 모두 만족한다. 그러나 정수의 뺄셈은 위 공리를 모두 만족하지 못한다. 교환법칙이 성립하지 않기 때문
- 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
- 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
- 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
- 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
- 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다 (0은 제외)
정수 집합 Z에 곱셈 연산을 추가하고 살펴본다면 정수 집합은 곱셈에 닫혀 있고, 결합법칙과 분배법칙이 성립하며 교환법칙도 성립한다. 하지만 정수 집합의 원소 a에 대한 곱셈의 역원은 1/a인데 이는 정수가 아니기 때문에 11번의 공리를 만족하지 못한다.
덧셈에 대한 역원이 존재하지 않는 자연수(N)와 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는 정수(Z)는 11가지 공리를 만족하지 못한다. 하지만 유리수(Q), 실수(R)는 곱셈의 역원이 존재하기 때문에 덧셈과 곱셈 두 연산에 대해 11가지 공리를 모두 만족한다.
공리적 집합론에서 두연산에 대해 11개의 공리를 모두 만족하는 수의 집합은 체(Field)의 구조를 지닌다고 표현한다.
뺄셈과 나눗셈은 교환법칙을 만족하지 않기 때문에 체의 구조를 지니지 못한다. 그러나 뺄셈 대신 덧셈의 역원을 사용하고 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하면 되기 때문에 수 집합의 구조를 분석할 때는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산에 대해서만 살펴보는 것이다.
수의 표현
체의 구조를 만족하는 수집합은 유리수(Q), 실수(R)이 있다. 직선 상에 유리수의 모든 원소를 순서대로 나열하는 상황을 가정한다면 무리수를 표현할 수 없기 때문에 빈틈이 생길것이다. 이러한 빈틈을 무리수로 채워 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어 내는 수가 실수(R)다. 실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선(Number Line)이라하며 직각으로 만나는 직선을 의미하는 수직선(Perpendicular Line)과 동음이의어다. 어떤 수의 원점으로부터의 거리는 수직 막대(Vertical Bar)기호를 써서 나타내는데 이를 절댓값(Absolute value)이라고 한다.
함수
함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소로 대응하는 관계를 의미한다.
함수의 개념과 종류
두 집합을 X와 Y라는 기호로 지정하고, 집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라 할 때 X에서 Y로 대응되는 함수를 y = f(x)로 나타낸다. 함수는 다음 규칙이 성립돼야 한다.
- 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 함
- 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함
함수에서 첫 번째 집합을 정의역(Domain)이라고 하고, 두 번째 집합을 공역(Codomaion)이라 한다. 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분 집합(Subset)을 형성할 수 잇는데, 이를 치역(Range)이라고 부른다. 함수에 사용하는 정의역의 요소를 입력(Input), 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력(Output)이라 한다.
- 전사함수
전사함수(Surjection)는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수이다. 즉 공역와 치역이 동일한 함수다.
- 단사함수
단사함수(Injection)는 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수이다. 정의역이 두 요소가 공역의 한 요소에 대응되는건 단사 함수가 아니다.
- 전단사함수
전단사함수(Bijection)는 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미한다.
합성함수
2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function Composition)이라 한다. X,Y,Z 세 집합 사이에 두 함수 f(x)와 g(y)가 존재할 때, 두 함수를 연쇄적으로 이어 합성함수를 만들면 중간에 위치한 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응 관계를 표현할 수 있다. 이러한 합성함수는 g·f 혹은 g(f(x))로 표시한다. 먼저 실행되는 함수 f가 (·)기호의 오른쪽에 놓인다는 점을 유의하자 합성함수 g·f는 g 써클 f로 부르는데, 대응 순서에 맞춰서 g 애프터 f 라고도 부른다.
항등함수와 역함수
정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 항등함수(Identity Function)라고 하며, 기호 id로 나타낸다. 그리고 다음의 수식을 만족한다.
f^-1 · f = id
f · f^-1 = id
(g · f)^-1 = f^-1 · g^-1곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장
곱집합(Cartesian product)이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미한다. 집합 A와 B의 곱집합은 A X B 라고 표현한다. 두 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면 평면으로 나타낼 수 있다. 여기서 다시 실수 집합을 곱집합으로 설정하면 3차원 공간이 된다.
정리
- 공리적 집합론의 개념에서 수의 정의
- 수가 가진 연산 체계를 파악
- 실수의 덧셈과 곱셉이 가지는 특징
- 함수의 기본 개념과 주요 용어 정리
- 합성함수와 역함수가 가진 주요 성질
출처
- 이득우의 게임수학 (https://www.onlybook.co.kr/entry/gamemath)
